Pénzügyi alapismeretek: kamatos kamat
Mint Kóka János ipari miniszter korában kijelentette: a magyarok pénzügyi analfabéták. Köztudott, hogy a középiskolában nem tanítanak pénzügyi ismereteket.
Akkor csapjunk a lovak közé. Első témám a kamatos kamat. Muszáj ezzel kezdenem, mert ez már nemegyszer problémaként merült fel.
Mi az, hogy kamat? Amikor a pénzünket kölcsön adjuk (például egy banknak, betét formájában) akkor megállapodunk, hogy nem csak a pénzünket kapjuk vissza, hanem egy bizonyos százalékkal többet – ez a kamat. A kamat mindig a tőkével arányos. (Érdemes elgondolkozni mi lenne, ha egy bank azt hirdetné meg, hogy minden betét után az év végén 2000Ft-al többet ad vissza. Ön betenne ilyen konstrukcióba egy nagyobb összeget?) Ugyan így, ha mi veszünk fel kölcsönt, akkor is évente bizonyos százalékkal nagyobb összeget kell visszafizetnünk.
Kitérő: A kamat kultúrtörténete rendkívül érdekes. Sok társadalomban erkölcsileg megvetették a kamatszedést, sőt törvényileg is tiltották. Esetleg csak egyes más vallásúaknak engedélyezték. Ők meg is gazdagodtak rajta. Ma is vannak ilyen pénzintézetek pl. az iszlám bankok, amelyek nem fizetnek kamatot a betétre. Viszont fizetnek a befektetések után a bank hasznából jutalékot. Szeretem az erkölcsi problémák praktikus megoldását…
Ha nem egy évre adunk kölcsön, hanem több évre, akkor a második évben már nem az eredeti tőkénk kamatozik, hanem az első évben kamattal növelt tőke nő tovább. Matematikailag ezt úgy lehet megfogalmazni (aki alergiás a matekra, MOST ugorjon a mondat végére), hogy ha A tőkét "n" évre "k" százalékos kamatra fektetünk be, akkor a végérték=A*(1+k/100)n. Ez egy hihetetlen érdekes képlet.
Nézzünk egy példát. Ha van 1.000.000 forintunk és befektetjük 12%-os kamat mellett 10 évre, akkor a végérték 3.105.848Ft, ugyan ez 20 évre 9.646.293Ft, 40 évre 93.050.970Ft.
Kitérő: A kamatos kamat józan ésszel szinte felfoghatatlan. Ennek oka az, hogy a modern pszichológia szerint az ember agya és teljes gondolkodásmódja az ősember életformában alakult ki. Biológiailag még mindig vadászó-gyűjtögető ősemberek vagyunk. Matematikailag az ősember az összeadást ismerte: egy mamut meg egy mamut az két mamut. A szorzás, és pláne a hatványozás, a neolitikus forradalommal jött be: a növénytermesztés és állattenyésztésre való áttéréssel. Ha elvetjük a búzamagot százszoros termést hoz. A kecskénk minden évben 7 kiskecskét ellik. Csakhogy az elmúlt párezer év kevés volt, hogy ezek az „újdonságok” az agyunkba beívódjanak. Ezért érezzük abszurdnak a kamatos kamatot.
A kamatos kamat különlegességét már régen felismerték: Legszebb ilyen történet a sakk feltalálásához társított legenda. Az uralkodó, akinek a feltaláló átadta a sakkot, igen elégedett volt. A feltaláló kérhetett bármi. Mire azzal a furcsa kéréssel fordult az uralkodóhoz, hogy csak egy kis búzát kér: a sakktábla első kockájára kér egy szemet, a másikra kettőt, a harmadikra négyet és így tovább. Mi már tudjuk: itt 100%-os kamatot kérünk 64 évre. Nagyon sok búza lett volna ez a kis búza. Pontosan 1.844.674.4073.709.551.615 db szem, ami az egész földgolyót beborítaná 9mm magasan. A magyarázók szerint a történet üzenete, hogy a sakk értéke felbecsülhetetlen. Az én olvasatomban pedig, hogy a kamatos kamat nagyon abszurd.
A kamatos kamathoz kapcsolódik egy híres történet. 1626-ban az indiánok 24$ értékű üveggyöngyért eladták Manhattan szigetét a hollandoknak. Pár éve indián szervezetek komolyan gondolkodtak azon, hogy beperlik az államot ezért, a számukra előnytelen szerződésért. De az előzetes jogi vizsgálat során kiderült, hogy ha ezt az összeget, ha csak 6%-os kamatra befektették volna, akkor az azóta eltelt 380 év alatt ez az összeg 24*(1,06)380=99.183.639.918$ lenne. Ez az ár már egyáltalán nem nevezhető előnytelennek. A tanulság az, hogy az indiánok nem olcsón adták el a szigetet, hanem nem tudták jól befektetni az árát…
Ezúttal azt nézzük meg, mi a helyzet, ha nem egy meglévő pénzt növelgetünk a kamattal, hanem évről-évre rakjuk össze a tőkét.
Rögtön kezdjük magas C-n, a dolog matematikájával. Akinek kiütései vannak a matektól, át is ugorhatja a következő négy bekezdést. Tegyük fel, hogy évről-évre befektetünk "A" összeget "k" százalékos kamat mellett "n" éven át. Kérdés: mennyi lesz a végén, az így összeállt összeg?
Gondoljuk csak végig: A legvégén van egy szép summánk. Mi minden van benne ebben az összegben? Először is benne van az, amit tavaly ilyenkor tettünk bele, egy évi kamattal növelve. Aztán bent van, amit két éve raktunk bele, két évi kamattal növelve. És így sorra mind az n db évről bent van a pénzünk, 1,2,…,n évi kamatával együtt. Az utolsó évből a pénzünk értéke az egy éves kamattal együtt a kamatszámítás szabályai alapján A(1+k/100). Ugyan így a két éve berakott pénzünk A(1+k/100)2, és amit legelőször a ködbevesző n évvel ezelőtt raktunk be, annak az értéke ma A(1+k/100)n.
És ezen a ponton, ha nem sikerült a matek érettségink nyomait teljesen és nyomtalanul kisöpörni a tudatunkból, akkor felmerül egy távoli emlék, amit mértani sorozatnak neveznek. Ez egy olyan sorozat, aminek a tagjai A, Aq, Aq2,Aq3, … , Aqn alakban írhatók fel. Ilyen például a 2,4,8,16,32,… sorozat. Dereng? Azt már meg sem kérdezem, hogy arra is emlékeznek-e, hogy mi volt a mértani sorozat első n db elemének az összege… Pedig higgyék el, annak idején még ezt is tudták! Elárulom: A(qn-1)/(q-1).
Most, ha így tekintjük, akkor a mi n éves kuporgatásunk után összeállt tőkénk is valahogy egy mértani sorozat összegeként áll elő, ahol q=(1+k/100), és össze kell adni n évről a tagokat. Azaz hogy majdnem. Ugyanis a sorozatunk, úgy kezdődik, hogy A, A(1+k/100), A(1+k/100)2,… A mi tőkénkben meg bizony nincs a legelső tag. Nyilvánvaló, amikor kivesszük az egészet, nem fizetjük be még egyszer az éves befizetést, azaz nem adjuk hozzá, hogy rögtön ki is vegyük. Ezért a mi összegünk a mértani sor n+1 elemének lesz az összege és le kell vonni belőle a legvégén be nem fizetett A tőkét. (Aki ezt első olvasásra érti, az vagy matematikus, vagy most érettségizett. Esetleg nagyon vágja a témát… Gondolkozzon el, úgy is keresünk új tanácsadókat a csapatunkba, nem kellene jelentkeznie?!) Szóval így a minden évben befizetett A összeg, k százalékos kamat mellett az n-edik év végére A(((1+k/100)n+1-1)/ (k/100)-1) lesz.
Ez nem hiszem, hogy olyanok esetében, akik heti háromnál kevesebb alkalommal járnak matekszakkörre, különös lelkesedést váltanának ki. Ennek ellenére ez a képlet annyira tanulságos, hogy minden valamirevaló pénzügyi tanácsadónak, pusztán a látványára, az örömkönnyektől párás lesz a szeme. Nézzük sorjában, mi van ezen lelkendezni való!
Nézzünk egy alapfeladatot először! Tegyük fel, hogy évről évre 500.000,- Ft-ot rakunk félre. Mit kapunk a végére, 12%-os kamat mellett? Behelyettesítve 10 év alatt 9.827.291,-Ft-ot, 20 év alatt pedig 40.349.367,-Ft. (Nem) eltekintve attól, hogy ezek az összegek önmagukban is mellbevágóak, van még egy dolog, amire fel kell figyelni.
Van a pénzügyi tanácsadóknak egy kedvenc mondása: Tőke=pénz x idő. Ezzel csak egy baj van, hogy nem igaz. Nézzen csak rá az adatokra: ha ez igaz lenne, akkor kétszer annyi ideig gyűjtögetve, kétszer annyi lenne a végén. De nem így van: több mint négyszer annyi lesz. Ugyanis azt kell látni, hogy a tőkefelépítésnél az idő sokkal fontosabb, mint a pénz. Ez jó hír, mert a magyarok többségének jóval több ideje van, mint pénze… Szóval ez a képlet képletes és fel- és megvilágosító, mintsem egzakt.
Nézzük tovább ezt a szemkápráztató képletet - nézzük meg mit jelent egy év! Tegyük fel, elhatározzuk, hogy innentől kezdve tőkét építünk és évről-évre félrerakunk. Csakhogy nem most, hanem csak jövőre kezdjük. (Kitérő: Köztudott a fogyókúrák leggyakoribb kezdési időpontja – holnap.) Mit vesztünk? Nézzünk egy példát! Láttuk 500.000Ft/év 20 év után 40.349.367,-Ft, viszont 19 évre ugyan ez, a képletünk alapján 35.526.000,-Ft. Nagyszerű: az első évben megspóroltunk 500.000Ft-ot a végén meg elvesztettünk kis híján ötmilliót… (Ráadásul ez az ötmillió nyugdíjtőkeként, minden évben kitermelt volna 600.000Ft-ot életünk végéig…) Szóval, ha húzzuk-halasztjuk a tőkeképzés elindítását minden hónappal nettó 360.280 forintot vesztünk. Nem kevés pénz! Önnek van ekkora nettó jövedelme? De átszámíthatom napokra is: minden nap halasztással napi 12.023Ft-ot veszít. Kellemes további gondolkozást!
Még nincs vége - nézzük meg mit jelent egy százalék! Ismét csak 500.000,- Ft-ot félrerakva 20 évig, ha a kamat 12% , 40.349.367Ft a vége, ha 13%, akkor 45.734.958Ft és ha 14%, akkor 51.884.209Ft. Mellbevágó? Ennyit jelent egy százalék. Ebből látható, hogy egy olyan pénzügyi tanácsadó, aki csak egyetlen százalékkal több hozamot tud elérni tanácsaival, az már egy ilyen szerényebb összeg befektetése esetén is 255.000Ft hasznot hoz minden évben az ügyfelének. (A szerző szerényen kihúzza magát a klaviatúra mögött…)
És még mindig nincs vége! Nézzünk rá miért gazdagok az amerikai nyugdíjasok! Tegyük fel, hogy minden hónapban rakjunk félre a nyugdíjunkra 10.000Ft-ot! Mit ad a képletünk? Az eredmény szerény 103millió… Ha ez nem mellbeverő, akkor nem tudom mi… Egyszerűen, ha arra szocializálnak minket a szüleink, hogy már az első fizetésünktől kezdve rakjunk félre a nyugdíjunkra, akkor megdöbbentő méretű összegek állhatnak össze nyugdíjas korunkra.
Legvégül egy házi feladat: Tegyük fel, hogy egyenletesen azonos fizetésünk van és minden fizetésünk azonos részét félrerakjuk, 40 éves munkaviszony és 12%-os hozam mellett. Kérdés, mekkora részt rakjunk félre, ha azt szeretnénk, hogy a végén egyben még egyszer megkapjuk azt az összeget, amit előtte a teljes életünkben megkerestünk? (Kitérő: Ezt a feladatot egy régi vicc inspirálta: Józsi bácsi felsóhajt a kocsmában: „Haj, ha egybe megkapnám azt a pénzt, amit eddig elittam az életemben!” „Miért, mit csinálna vele Józsi bácsi?” „Hát elinnám!”) Kellemes számolgatást! (A megfejtés: 5,22%)